Las Funciones de Redondeo de Excel: REDONDEAR, REDOND.MULT, MULTIPLO.SUPERIOR y el Céntimo Que Nunca Cuadra

Esta es una factura con ocho líneas. Todas se han calculado con la misma fórmula, todas están redondeadas al céntimo y todas son correctas.

Las líneas suman 1.747,26. Los mismos ocho trabajos, valorados sin redondear cada línea primero, dan 1.747,25.

Nadie se ha equivocado. Nadie ha escrito nada mal. No falta ningún apunte ni hay ninguna fórmula rota, y si te pones a buscarla perderás una tarde y no encontrarás nada — porque el céntimo no se ha perdido, se ha creado, por el hecho de redondear ocho números antes de sumarlos en lugar de después.

De eso va todo el artículo. El redondeo en Excel son once funciones y una casilla, y casi toda la dificultad no está en las funciones: está en saber cuándo dentro de un cálculo se redondea, y quién tiene que estar de acuerdo con el resultado después.

Qué necesitas. REDONDEAR, REDONDEAR.MAS, REDONDEAR.MENOS, ENTERO, TRUNCAR, REDOND.MULT, REDONDEA.PAR y REDONDEA.IMPAR están en todas las versiones de Excel que siguen en uso, y en Google Sheets. MULTIPLO.SUPERIOR.MAT y MULTIPLO.INFERIOR.MAT llegaron con Excel 2013 — los antiguos MULTIPLO.SUPERIOR y MULTIPLO.INFERIOR siguen funcionando y se comportan distinto con los negativos, que es la sección 8. Todo lo de aquí funciona en Excel para la web y en Mac.

1) Dos Sistemas de Redondeo, y Solo Uno Cambia el Número

Esta es la distinción sobre la que se apoya el resto del artículo, y es la que todo el mundo se salta.

Un formato de número cambia lo que enseña la celda. Selecciona las celdas, pon dos decimales, y 1,004 aparece como 1,00. La celda sigue conteniendo 1,004. Todas las fórmulas que la leen siguen leyendo 1,004.

REDONDEAR cambia lo que la celda es. =REDONDEAR(A1;2) devuelve 1,00 como valor. Todo lo que venga después ve 1, porque ese es ahora el número.

Pon tres celdas con 1,004 una al lado de otra, dales formato de dos decimales y súmalas:

Tres celdas que ponen 1,00 cada una y un total que pone 3,01. Todas las celdas de esa pantalla están mostrando bien su propio valor. Esta es la incidencia de "Excel está mal" más frecuente que existe, y la respuesta es siempre la misma: el formato es un disfraz, no un número.

Cuál de los dos quieres depende por completo de quién lee la respuesta:

• Formato cuando la precisión de debajo es real y solo estás ordenando la pantalla — medidas, medias, resultados de un modelo, cualquier cosa con la que se vaya a volver a calcular.
• REDONDEAR cuando el número redondeado es el hecho — un importe que alguien paga, una cantidad que alguien prepara, una cifra que sale en un documento y tiene que cuadrar con la aritmética impresa al lado.

Una factura es de las segundas. No puedes cobrarle a un cliente 222,625, así que el importe al céntimo no es una comodidad de pantalla: es el número. Redondéalo.

2) REDONDEAR, REDONDEAR.MAS, REDONDEAR.MENOS y el Segundo Argumento

Las tres toman los mismos dos argumentos y solo se diferencian en la dirección:

=REDONDEAR(número; núm_decimales)         al más cercano
=REDONDEAR.MAS(número; núm_decimales)     alejándose del cero, siempre
=REDONDEAR.MENOS(número; núm_decimales)   hacia el cero, siempre

El segundo argumento cuenta posiciones decimales, y es la parte que merece aprenderse bien, porque no se para en cero:

Los dígitos negativos redondean a la izquierda de la coma decimal, y no los usa casi nadie. Son la forma honrada de montar un resumen en miles: =REDONDEAR(SUMA(F2:F9); -3) te da un número que de verdad es múltiplo de mil, a diferencia de un formato personalizado como #.##0. "k" que solo lo dibuja. Usa el formato cuando quien lee es una persona y la precisión de debajo sigue importando. Usa los dígitos negativos cuando la cifra redondeada es la que se arrastra hacia adelante.

Fíjate también en lo que significan de verdad REDONDEAR.MAS y REDONDEAR.MENOS. Son alejándose del cero y hacia el cero, no "arriba" y "abajo" en la recta numérica. =REDONDEAR.MAS(-2,1;0) es -3. =REDONDEAR.MENOS(-2,1;0) es -2. Si tus datos tienen negativos — abonos, devoluciones, desviaciones — di la dirección en voz alta antes de elegir la función, porque los nombres te están engañando.

3) ENTERO, TRUNCAR y el Número Negativo Que los Separa

Dos funciones que parecen hacer lo mismo y dejan de coincidir en cuanto aparece un signo menos.

ENTERO redondea hacia abajo, hacia menos infinito. TRUNCAR corta los decimales, hacia el cero.

Con números positivos son intercambiables, que es justo por lo que el error sobrevive: la hoja funciona un año y entonces alguien mete un abono.

Dos cosas más. TRUNCAR admite un segundo argumento opcional, así que =TRUNCAR(1747,269;2) es 1747,26 — un corte, no un redondeo. Y ENTERO es la forma estándar de partir una fecha con hora: =ENTERO(A1) es la fecha y =A1-ENTERO(A1) es la hora, porque Excel guarda la pareja como un solo número con el reloj en los decimales.

Ya que estamos: =REDONDEA.PAR(3,1) es 4 y =REDONDEA.IMPAR(3,1) es 5. Las dos se alejan del cero hasta el siguiente entero de esa paridad. Existen para problemas de empaquetado y emparejamiento, y las usarás una vez en la vida.

4) La Regla de los Empates: la Mitad se Aleja del Cero, Siempre

Cuando un número cae exactamente en la mitad, Excel redondea alejándose del cero. =REDONDEAR(2,5;0) es 3. =REDONDEAR(-2,5;0) es -3. No hay opción, ni ajuste, ni función alternativa.

Eso importa porque buena parte del mundo no redondea así. El redondeo bancario — la mitad al par — manda 2,5 a 2 y 3,5 a 4, para que una columna larga de empates no se desvíe hacia arriba. Es el comportamiento por defecto en Python, en Math.Round de C#, en el estándar IEEE 754 y en muchísimos programas de contabilidad y estadística. Excel no lo implementa en ninguna parte, lo que significa que un total de Excel y un total del sistema que lo alimenta pueden diferir un céntimo por empate y ser los dos correctos según sus propias reglas.

Los empates son más raros de lo que parece, porque un decimal como 0,145 no se guarda exactamente como 0,145 — pero no son raros en dinero, porque las mitades de céntimo caen en valores que un ordenador binario sí puede guardar exactos: ,125, ,375, ,625, ,875. La factura de este artículo tiene tres.

Si de verdad necesitas redondeo bancario — normalmente porque algo aguas abajo lo exige — esto es, para importes positivos y dos decimales:

=LET(n; A1*100;
     f; n-0,5;
     SI(RESIDUO(n;1)=0,5;
        SI(ES.PAR(f); f; f+1)/100;
        REDONDEAR(A1;2)))

Léelo así: escala a céntimos y, si lo que queda es exactamente medio céntimo, coge el céntimo par más cercano; si no, redondea normal. Pruébalo con 2,225, 2,235 y 2,245 antes de fiarte, y no lo uses salvo que una especificación lo pida — una factura que se desvía un céntimo de lo que espera el cliente es una llamada de teléfono, y "redondeamos al par" es una frase difícil de decir en esa llamada.

5) Los Quince Dígitos de Debajo

Excel guarda los números como coma flotante binaria de 64 bits y conserva 15 dígitos significativos. Las dos mitades de esa frase dan problemas reales.

Los 15 dígitos. Escribe un número de 16 dígitos — una tarjeta, una referencia larga, un trozo de IBAN — y el último dígito pasa a ser un cero, en silencio y para siempre. Nada te avisa. Todo lo que sea un identificador en lugar de una cantidad va en una columna de texto, con formato de Texto antes de pegar, no después.

El binario. La mayoría de las fracciones decimales no tienen forma binaria exacta, igual que un tercio no tiene forma decimal exacta. Excel lo disimula bien, y de vez en cuando no:

=(43,1-43,2)+1     enseña 0,9, y no es 0,9

Ensancha la columna a quince decimales y sale 0,899999999999999. Lo cual da igual hasta que escribes =SI((43,1-43,2)+1=0,9;"coincide";"no") y una hoja que enseña 0,9 en las dos celdas te responde no.

El arreglo no es ser más listo con la coma flotante. Es redondear antes de comparar, o comparar con una tolerancia:

=SI(REDONDEAR(A1;10)=REDONDEAR(B1;10);"coincide";"no")
=SI(ABS(A1-B1)<0,0000001;"coincide";"no")

Es también por lo que un SUMAR.SI se salta de vez en cuando una fila idéntica al criterio, y por lo que una conciliación enseña una diferencia de 0,00 que no es cero. Si una diferencia debería ser cero y no lo es, envuélvela en REDONDEAR antes de salir a buscar el apunte que falta.

6) Facturar al Siguiente Cuarto de Hora

🎯 Escenario: Ocho trabajos, un cronómetro que registra a la centésima de hora y un contrato que factura en bloques de cuarto de hora con el dinero al céntimo.

La cuadrícula de abajo es el mes. Horas reales en C, tarifa en D, y E y F vacías porque las rellena la regla de facturación.

Dos fórmulas hacen todo el trabajo:

E2:  =MULTIPLO.SUPERIOR.MAT(C2; 0,25)
F2:  =REDONDEAR(E2*D2; 2)

MULTIPLO.SUPERIOR.MAT(número; cifra_significativa) redondea al siguiente múltiplo de lo que le des. Un cuarto de hora es 0,25 cuando las horas se guardan como decimal. Rellena las dos hacia abajo y el mes queda así:

Tres filas están enseñando algo.

El J-2205 y el J-2208 no se han movido. 2,50 y 2,25 ya son múltiplos exactos de un cuarto, y MULTIPLO.SUPERIOR.MAT deja en paz a un múltiplo exacto. Redondea al siguiente múltiplo o se queda donde está — no salta siempre. La gente espera que un "techo" suba siempre y escribe un parte de incidencia cuando no lo hace.

El J-2203 duró 7,8 minutos y se factura como quince. Con esa tarifa son 23,81 en vez de 12,38 — el cliente paga un 92% más de lo que costó el trabajo. Eso no es Excel equivocándose, es el contrato, y es la razón por la que los incrementos mínimos de facturación se negocian en lugar de darse por supuestos.

El J-2206 se pasó 1,2 minutos de las seis horas y se factura como seis y cuarto. Setenta y dos segundos de exceso compraron 13,8 minutos de factura, que valen 21,91. Toda regla de cuarto de hora tiene este escalón al final de cada bloque, y todo el que ha sido facturado con una lo ha notado.

7) REDOND.MULT y el #¡NUM! Que Significa Que los Signos No Coinciden

🎯 Escenario: Un cliente quiere 1.180 unidades de algo que solo se sirve en cajas de 24.

MULTIPLO.SUPERIOR.MAT siempre sube. MULTIPLO.INFERIOR.MAT siempre baja. REDOND.MULT va al múltiplo más cercano:

=REDOND.MULT(1180; 24)               1176   — 49 cajas, la más cercana
=MULTIPLO.SUPERIOR.MAT(1180; 24)     1200   — 50 cajas, suficiente para cubrir el pedido
=MULTIPLO.INFERIOR.MAT(1180; 24)     1176   — 49 cajas, nunca de más

Un pedido de 1.180 unidades en cajas de 24 son 49,17 cajas. Cuál de esos tres números es el bueno depende de una pregunta que no es aritmética: ¿puedes servir de menos? Si no, MULTIPLO.SUPERIOR.MAT es la única respuesta correcta y las 20 unidades de más son lo que cuesta el formato de caja.

REDOND.MULT resuelve los empates igual que REDONDEAR — alejándose del cero cuando el resto es exactamente la mitad del múltiplo. =REDOND.MULT(7,5;5) es 10.

Y tiene una trampa que las otras dos no tienen: REDOND.MULT devuelve #¡NUM! si el número y el múltiplo tienen signos distintos. =REDOND.MULT(-23;5) es un error, no -25. Lo que quieres es =REDOND.MULT(-23;-5) o, más útil en una fórmula que tiene que aguantar los dos signos:

=REDOND.MULT(A1; SIGNO(A1)*5)

Dos trabajos más de redondeo a múltiplos que te vas a encontrar de verdad:

=REDOND.MULT(A1; 0,05)                     redondeo de efectivo a los 5 céntimos más cercanos
=MULTIPLO.INFERIOR.MAT(A1; 1) - 0,05       el siguiente precio acabado en ,95 por debajo de A1
=REDOND.MULT(A1; 1/24)                     la hora en punto más cercana, en una fecha con hora

8) El Argumento de Modo y las Dos Funciones Antiguas

MULTIPLO.SUPERIOR.MAT y MULTIPLO.INFERIOR.MAT admiten un tercer argumento opcional que no hace absolutamente nada con números positivos. Con negativos lo es todo.

=MULTIPLO.SUPERIOR.MAT(número; [cifra_significativa]; [modo])
=MULTIPLO.INFERIOR.MAT(número; [cifra_significativa]; [modo])

Con modo omitido o cero, MULTIPLO.SUPERIOR.MAT redondea un negativo hacia el cero (-4,1 → -4) y MULTIPLO.INFERIOR.MAT lo redondea alejándose del cero (-4,1 → -5). Dale a modo cualquier valor distinto de cero y cada una se da la vuelta.

La forma de no liarse es dejar de pensar en "arriba" y "abajo" y pensar en dirección sobre la recta numérica frente a distancia al cero. Si tus datos tienen negativos, escribe el argumento de modo explícitamente aunque coincida con el valor por defecto — quien lea tu fórmula el año que viene no debería tener que buscarlo.

Los antiguos MULTIPLO.SUPERIOR y MULTIPLO.INFERIOR siguen en Excel y siguen funcionando. Tratan los negativos de otra forma y, en algunas versiones, un número y una cifra significativa con signos opuestos te dan #¡NUM! en lugar de una respuesta. No hay ninguna razón para escribir una fórmula nueva con ellas. Si heredas una y la columna puede tener negativos, pruébala antes de fiarte.

9) El Tiempo Es una Fracción de Día

Excel guarda una hora como la fracción de día que representa: las 6:00 son 0,25, el mediodía es 0,5, las 18:00 son 0,75. Lo que significa que todas las funciones de este artículo valen para horas, siempre que les des un múltiplo escrito igual.

=REDOND.MULT(A2; NSHORA(0;15;0))                   al cuarto de hora más cercano
=MULTIPLO.SUPERIOR.MAT(A2; NSHORA(0;15;0))         al siguiente cuarto de hora
=MULTIPLO.INFERIOR.MAT(A2; NSHORA(1;0;0))          la hora en la que empezó
=REDOND.MULT(A2; "0:15")                           lo mismo, si prefieres texto

Un fichaje a las 08:07 pasa a 08:15 con MULTIPLO.SUPERIOR.MAT y a 08:00 con REDOND.MULT. Dale formato de hora al resultado — el valor es una fracción, y una celda sin formato te enseña 0,34375, que es correcto e inútil.

La trampa aquí son las duraciones de más de 24 horas. Un total de 26 horas es 1,0833, y un formato de hora normal lo enseña como 02:00 porque da la vuelta a medianoche. El formato [h]:mm — con corchetes en las horas — es lo que evita la vuelta. Eso es un arreglo de formato, no de redondeo, pero es donde suele torcerse el total redondeado de un parte de horas.

10) El Céntimo Que Nunca Cuadra

Volvemos a la factura y a la diferencia con la que empezamos.

• Suma los valores exactos de las líneas y redondea una vez: 1.747,25
• Redondea cada línea y suma los valores redondeados: 1.747,26

Los dos son defendibles. Solo uno puede ir en el documento, y la regla no es cuestión de gustos:

El número que paga el cliente es la suma de las líneas que ve. Una factura que imprime ocho importes y un total que no es su suma está mal, diga lo que diga la aritmética de debajo. Así que redondea en la línea, suma las líneas redondeadas y deja que el total se aleje un céntimo de la cifra teórica. La alternativa — un total correcto con unas líneas que no suman eso — es la versión que acaba en una reclamación.

Lo mismo pasa otra vez con el impuesto:

Otro céntimo, en la misma dirección y por el mismo motivo. Cuál es el correcto es una pregunta para tu agencia tributaria y no para Excel — muchas jurisdicciones lo especifican explícitamente — y la única respuesta mala es hacerlo de una forma en la hoja y de la otra en el sistema que presenta la declaración.

Y hay una tercera respuesta que nadie espera. Con redondeo bancario, los tres empates exactos de esta factura — 222,625, 325,375 y 154,125 — pasan a 222,62, 325,38 y 154,12, y la factura suma 1.747,24. Tres totales plausibles, de un mismo conjunto de ocho líneas correctas, y un céntimo entre cada uno.

La lección no es que el redondeo sea peligroso. Es que dónde redondeas es una decisión con dueño, y si nadie la toma explícitamente, la toma la hoja por ti.

11) El Gráfico Circular Que Suma 99%

🎯 Escenario: Los mismos ocho trabajos, repartidos por cliente, en una diapositiva que pone 100% debajo.

La misma factura, agrupada por cliente y expresada como porcentaje del total:

Cuatro porcentajes bien redondeados que suman 99. Con un decimal no mejora: 23,0 + 14,1 + 35,4 + 27,4 = 99,9.

Esto no se arregla redondeando de otra manera, porque no es un error de redondeo: cuatro números que pierden cada uno una fracción no pueden sumar lo que sumaban antes. Lo que sí puedes hacer es elegir quién lo absorbe. El método estándar es el del resto mayor: redondea todo hacia abajo, cuenta lo que falta y reparte las unidades que faltan entre las filas con las fracciones descartadas más grandes.

Aquí, redondear hacia abajo da 23 + 14 + 35 + 27 = 99, uno de menos. Las fracciones descartadas son ,0435, ,0792, ,4338 y ,4435 — así que Novak Print se lleva el punto y pasa a 28%. Los cuatro porcentajes quedan en 23, 14, 35 y 28, y suman exactamente 100.

En una hoja, la versión práctica es calcular la fila mayor como residuo:

=SI(B2=MAX($B$2:$B$5);
    100 - SUMA(REDONDEAR($B$3:$B$5/$B$6*100; 0));
    REDONDEAR(B2/$B$6*100; 0))

O, si el único consumidor es el gráfico, no redondees: deja que las etiquetas lleven un decimal y la diferencia se queda por debajo de lo que lee nadie. Lo que no puedes hacer es poner cuatro números al lado de un "100%" que no suman y confiar en que la reunión vaya deprisa.

12) La Casilla Que Borra Tus Datos

Hay un ajuste en Archivo ▸ Opciones ▸ Avanzadas ▸ Al calcular este libro que se llama Establecer la precisión de pantalla. Suena a que arregla todo lo de este artículo. Hace otra cosa.

Activarlo reescribe permanentemente todos los números guardados del libro con el valor que muestra su formato. 1,004 con formato 1,00 pasa a ser 1 — en la celda, en el fichero, para siempre. Volver a desactivarlo no restaura nada, porque los valores originales ya no están. Deshacer tampoco llega.

Hay usos legítimos — un libro de contabilidad de precisión fija donde el valor mostrado es por definición el único valor — y son lo bastante raros como para que el consejo honrado sea: no lo actives. Si te llega un libro que ya lo tiene puesto, los números que hay dentro ya están alterados, y los datos de origen están en otra parte.

REDONDEAR hace el mismo trabajo con el grano de una sola fórmula, a la vista, reversible y donde quien revise pueda verlo. Usa eso.

13) Qué Función, para Qué Trabajo

Y una regla que manda sobre la tabla: redondea una vez, lo más tarde posible, en el punto en el que el número se convierte en un hecho del que depende otra persona. Redondear un resultado intermedio porque quedaba feo es como un modelo acaba desviado 40 en una cifra de 12.000.

14) Cuánto Vale de Verdad la Regla de Redondeo

Un último número, porque es la razón de que este artículo use una factura y no un ejemplo de matemáticas.

Los ocho trabajos duraron 22,15 horas y se facturan como 23,00. El trabajo, valorado a las horas reales, vale 1.678,91. La factura pone 1.747,26.

La regla de redondeo vale 68,35 — un 4,1% por encima de lo que valían las horas, salido de una regla que nadie en la sala considera una decisión de precio. Cincuenta y un minutos de factura que no se trabajaron.

No es una acusación — facturar por cuartos de hora es estándar, defendible, y juega en el otro sentido cuando un trabajo se alarga y se acaba descontando. La cuestión es que es una política, que aquí vale un 4,1%, y que vive en un argumento de una función de la columna E. Cambia 0,25 por 0,1 y el mismo mes factura 22,50 horas en lugar de 23,00. Cambia MULTIPLO.SUPERIOR.MAT por REDOND.MULT y factura 22,25.

Tres caracteres, en una fórmula que no revisa nadie, moviendo un 4% de un número con el que se mide todo el negocio. Todas las funciones de este artículo son así de pequeñas y así de importantes. Sabe cuál has escrito y sabe por qué.

15) Mini Ejercicios

Copia la cuadrícula en una hoja en blanco empezando en A1. Cada respuesta es una fórmula.

1. Factura el mes. Pon =MULTIPLO.SUPERIOR.MAT(C2;0,25) en E2 y =REDONDEAR(E2*D2;2) en F2, rellena las dos hasta la fila 9 y da los dos totales. Después di qué dos filas no se movieron en la columna E y por qué.
2. Redondea tarde. En una celda suelta, calcula la factura sin redondear las líneas: =REDONDEAR(SUMAPRODUCTO(E2:E9; D2:D9); 2). Di la diferencia con SUMA(F2:F9) y cuál de las dos imprimirías.
3. Demuestra que el formato es un disfraz. Pon 1,004 en tres celdas, dales formato de dos decimales y súmalas. Apunta lo que enseñan las tres celdas, lo que enseña el total, y una frase para explicárselo a un compañero.
4. El empate. El J-2201 es exactamente 222,625 antes de redondear. Di qué devuelve REDONDEAR(222,625;2), qué devolvería el redondeo bancario y cuántas de las ocho líneas son empates exactos.
5. Cambia el incremento. Reconstruye la columna E con 0,1 en lugar de 0,25, y otra vez con REDOND.MULT en lugar de MULTIPLO.SUPERIOR.MAT. Da los tres totales de horas facturadas y di cuál pondrías en un contrato.
6. Signos. Escribe =REDOND.MULT(-23;5) y describe qué sale. Después escribe una versión que devuelva -25 y otra que funcione con una columna que tenga los dos signos.
7. Negativos, en serio. Monta una columnita con 2,7, -2,7, 0,5 y -0,5 y pon al lado ENTERO, TRUNCAR, REDONDEAR, REDONDEAR.MAS y REDONDEAR.MENOS. Rodea con un círculo cada celda donde dos funciones no coincidan.
8. El gráfico del 99%. Agrupa los ocho trabajos por cliente, calcula el porcentaje entero de cada uno y súmalos. Después aplica el arreglo del resto mayor y di qué cliente ganó un punto y por qué fue ese.

Resumen

Un formato de número cambia lo que enseña una celda; REDONDEAR cambia lo que la celda es. Solo el segundo afecta a un total, y elegir entre los dos es una pregunta sobre quién lee la respuesta: una pantalla, o un documento contra el que alguien paga.

Las funciones se reparten limpiamente. REDONDEAR/REDONDEAR.MAS/REDONDEAR.MENOS para decimales, incluidos los negativos para decenas, centenas y millares. ENTERO y TRUNCAR para enteros, y no coinciden con los negativos. REDOND.MULT, MULTIPLO.SUPERIOR.MAT y MULTIPLO.INFERIOR.MAT para múltiplos — cuartos de hora, cajas, precios psicológicos, franjas horarias — con el argumento de modo importando solo cuando el número puede ser negativo, y solo REDOND.MULT devolviendo #¡NUM! cuando los signos no coinciden.

Excel redondea los empates alejándose del cero, siempre, y no tiene redondeo bancario. Conserva 15 dígitos significativos, lo que se come el último dígito de una referencia de 16 y hace que (43,1-43,2)+1 se niegue a ser igual a 0,9. Redondea antes de comparar, o compara con una tolerancia.

Y la parte que cuesta dinero de verdad no es ninguna de las funciones. Es cuándo se redondea. Redondea cada línea y esta factura son 1.747,26; redondea una vez al final y son 1.747,25; usa redondeo bancario y son 1.747,24. Alguien tiene que elegir, una vez, y dejarlo escrito — porque el céntimo no es un error que haya que encontrar. Es una decisión que ya estaba tomada, por quien escribió la fórmula.